千年的趣题——“鸡兔同笼”的现代版教学

一、主题与背景

“用假设法解决问题的策略”是义务教育课程标准实验教科书苏教版第十一册第七单元《解决问题的策略》中的第二课时的教学内容。本节课是我校的一次校内教研活动课。第十一册第七单元《解决问题的策略》是新课程的一个创新，是在老教材中所没有涉及的。本课时选取的素材是类似与我国古代的传统数学名题“鸡兔同笼”问题，“鸡兔同笼”问题是我国民间广为流传的数学趣题，最早出现在大约1500多年前的古代数学名著《孙子算经》（成书时间大概从东晋、南北朝时代到隋、唐之间。其体例与《九章算术》相同）中。教学的目的是让学生继续感受替换的数学思想方法，积累解决问题的策略。教材在本单元安排这样的问题，一方面可以培养学生的逻辑推理能力；另一方面使学生体会代数方法的一般性。本单元选择学生能够接受的素材创设问题情境，通过让学生主动经历探索过程，帮助学生积累思想方法，发展解题策略。在教学中，我始终都是着眼于帮助学生体会数学思想，积累数学方法，感受解题策略。

基于这些认识，我设计了这样的教学思路：

1、情境引入，引导假设，自主探索。学生可以用以前学习过的各种策略自己解决，也可以想新的方法，充分展示学生真实的思考。

2、验证假设，引导替换，有序思考。在学生自主探索的基础上，教师组织学生进行交流，通过对学生各种策略的剖析，让学生明白如何有序思考，如何合理替换，如何进行调整。

3、比较辨析，寻找共性，提炼策略。可以用各种策略来解决，要根据具体问题来选择具体的策略。但无论哪种都基于假设、比较、调整、确认。

4、适当拓展、渗透，让学生感受数学的魅力。通过对“鸡兔同笼”古题的理解，再次加深对用假设法解题的理解，进一步体验策略的价值。

二、情景描述

1、出示例题：上次社会实践，我们去了玄武湖公园，六（1）班的42位同学去划船，他们一共租用了10条船，正好坐满。每只大船能坐5人，每只小船能坐3人。你知道他们分别租用了几条大船和几条小船吗？

（1）自己把题目读一读，你能找到那些数学信息，要我们解决什么问题。

（2）先自己想一想，你准备怎样来解决这个问题？然后和小组里的同学交流一下，并动笔试一试你的策略是否有效。

2、组织交流。

师：下面我们一起来交流一下你的想法。

（1）生：我打算先凑一凑。算一算如果大船有1只、小船有9只，一共能坐多少人，再和42人比较一下相差多少人。

师：好，我们把你的意思用表格列出来。

师：请大家想一想，这里的“少了10人”是什么意思？

生1：在这10只船中，能坐船的人数比实际坐船的人数少了10人，

生2：也就是如果大船是1只、小船是9只时，就会有10人没有坐到船。

师：是啊，还有10人没有坐到船，说明我们凑的1只大船、9只小船不合理，哪种船太少了呢，可以怎样调整呢？

生：大船太少了，我想把大船改为3只。

师：如果大船改为3只，那么这时小船就是租了几只，为什么？

生：小船7只，因为题目中说大船、小船一共是10只，船的总只数是不变的。

师：好，我们一起来算一算，这时的总人数情况。

师：能分析一下，“少了6人”，说明什么吗，可以怎样调整？

生：“少了6人”说明还有6人没有坐到船，大船还是太少。

师：你想怎样调整呢？

生：可以把大船改为5只，小船也改为5只。

师：好，我们继续来算一算。

大船只数	小船只数	总人数	和42人比较
1	9	1×5+9×3=32	少了10人
3	7	3×5+3×7=36	少了6人
5	5	5×5+3×5=40	少了2人

师：看到“少了2人”你又想到什么呢？

生1：大船还是太少，再调整为大船有6只，小船有4只。

圣2：大船肯定是6只。

师：能说说你是怎样想的吗？

生2：一只大船比一只小船多坐2人，现在还有2人没有坐到船，那么，把一只小船替换成一只大船，就可以多坐2人，所以，大船再多一只就够了，所以大船肯定是6只，小船就是4只。

师：大家觉得他说得有道理吗，我们可以计算验证一下。

大船只数	小船只数	总人数	和42人比较
1	9	1×5+9×3=32	少了10人
3	7	3×5+3×7=36	少了6人
5	5	5×5+3×5=40	少了2人
6	4	5×6+3×4=42	正好

生3：我觉得不用这么凑，从第一次凑了1只大船、9只小船少了10人可以看出还有10人没有坐到船，那么把一只小船替换成大船就可以多坐2人，10÷2=5只，说明要把5只小船替换成大船，所以大船就是6只。

师：说得多好呀，同学们能想明白吗？刚才我们用先假设大船有1只、小船有9只，再用列表假设再调整的方法解决了这个问题，当然在调整的过程中，同学们也展开了深入的分析和思考，进行了合理的替换，有的同学还能通过大小船之间的关系，很快替换到最后的结果，非常了不起。回顾一下，在这个过程中，你是怎样来思考的，运用哪些解决问题的策略呢？

生：我们运用了列表的策略、替换的策略。

师：是的， 其实大家还用到一个重要的策略：假设的策略，在替换之前，大家先假设大船是1只，小船是9只，这就是假设。

生1：老师，我想直接假设大船5只，小船5只，可以吗？

其他学生（异口同声地）：当然可以。

生2：老师，我直接假设大船有6只，小船有4只，可以吗？

（全班大笑）

师（笑）：当然也可以，如果你足够幸运的话！

（2）师：同学们，刚才我们围绕钟丹丹同学的想法展开了交流，通过列表、替换的方法解决了这个问题。你还有不同的想法吗？

生：我是画图来想的。先假设这10只都是小船的。我想，假设这10只都是小船，那么一共可以坐30人，差12人没有坐到船。

师：好，我们用图画把他的意思表示出来。假设10只都是小船，那么可以坐3×10=30（人），还差42-30=12（人）没有坐到船。

师：那么应该有几只大船呢？为什么？

生：应该有6只大船，因为把一只小船换成大船就可以多坐2人，12÷2=6只，所以大船就是6只。

师（边画图边引导思考）：大家明白吗，我们一起来想一想。还差42-30=12人没有坐到船，那么我们必须要把一些小船换成大船，一只小船换成大船可以多坐2人，两只小船换成大船可以多坐4人，要几只小船换成大船就可以让这12人都坐到船呀？

生：6只。

师：对， 要12÷（5-3）=6只大船。

师：那么小船要几只呢。

生：10-6=4只。

师：根据算出的答案算一算，是不是正好能坐42人，你会检验吗？

生：……

3、引导回顾解题过程，感受替换的策略。

师：回顾一下，刚才这个问题有什么特点，我们是怎样来解决这个问题的呢。这两种方法有什么共同点呢？

生1：这两种方法都是先假设的，第一种方法先假设有9只小船1只大船，第二种方法先假设10只都是小船。

生2：这两种方法都要把小船替换成大船。

生3：这两种方法都要算比42人少了几人。

师：是啊，大家观察比较得很到位。这两种方法实质上都运用了假设、替换的策略。列表中，有的同学是逐步调整替换的；先假设10只都是小船再画图解决问题的方法中，大家是找到大小船之间的关系直接替换到位的。

师：除了可以假设10只都是小船，还可以用什么方法找出答案呢？

生：假设10只都是大船。

师：好，可以结合画图的方法在自备本上做一做。

（学生完成后再次组织交流）

4、组织对比，发现规律。

师：刚才，解决这个问题时，有的同学是从1只大船、9只小船开始假设再调整替换的，有的同学是从全是大船开始假设的，也有从全是小船开始假设的。你觉得假设后怎样替换能比较快的找出答案呢？

5、感受数学文化，激发学习兴趣。

师：实际上，今天我们接触的问题是我国古代的数学名题之一，我们称之为“鸡兔同笼”问题。它出自于我国古代的一部算书《孙子算经》。书中的题目是这样的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”大家看，我们刚才解决的问题和这个鸡兔同笼问题是不是有共同的特点呢？我国古人早在几千年前就已经会使用假设的策略来解决问题，多么了不起啊！

三、教学反思

对学生的发展而言，解决问题的学习价值不只是获得问题的结论或答案。解决问题的教学意义在于，学生通过解决问题的数学活动了解一些解决问题的策略，掌握一些解决问题的方法。在这一课的教学中，先让学生通过思考、讨论，得出了一些方法，然后让学生谈一谈解决问题的策略，有了解决问题的策略之后，再让学生思考具体的解决问题的方法，可以用假设法来解决问题，并在交流中发现用假设法还可以根据一定的规律来假设，最后让学生根据自己掌握的方法来解决问题。通过解决这个“租船问题”，学生掌握了一种数学的思维方法，增强了学生解决问题的策略意识。

（一）要让学生经历解决问题的完整过程，在过程中寻找有效的、合适的解决问题的策略。

解决问题策略的获得过程实际上是学生在经历一个解题过程中的感悟过程，教学时，在学生在明确要解决的问题后，我让学生先自己想一想并试一试准备怎样来解决这个问题，促使学生尽可能地调动已有的经验，运用已有的解题策略去尝试解决问题，使学生对自己的策略是否可行有一个初步的估计和体验。而后，老师组织学生展开交流，在交流与碰撞中逐步深入的体会假设、替换策略的运用过程极其价值。

（二）数学问题的研究方式要顺应学生的思维特点，激发起学生主动探索的欲望，给学生以自由思考、自由表达的空间，这样学生的兴趣才会浓起来，思维才能活起来。

“鸡兔同笼”问题相对是比较抽象的，教材选取了贴近学生生活的划船问题，本身容易激发起学生研究的兴趣。再加上画图、列表与假设、替换策略的整合运用，使学生直观地把握了替换过程中的道理，感受到替换策略的在解决问题中的价值，从而能自觉地接受这种数学思想方法。在展开研究的过程中，我引导学生其展示思维过程，组织全班同学参与到和他的讨论之中，并且尊重该学生的选择，并没有硬牵着学生去关注与42人相差的人数与每只大小船能坐的人数差之间的关系，而是顺应于学生的思维，学生想把大船调整成几只就把大船调整成几只，按照他们的想法组织讨论，使学生感受到自己探索的价值，获得成功体验。因此，课堂中才会有学生产生了更多不同的假设方法，有假设大船5只小船5只的，甚至有开玩笑说假设大船6只小船4只的，最终使学生认识到只要不违背大船、小船共10只的条件，假设的方法是很多的。

（三）解决问题的策略学习，最终要指向问题的解决。

有的人认为，教学解决问题的策略，重点是感受策略，而忽视了学生是否真正能解决问题。我认为不其然，如果学生不能很好地解决问题，又何谈对策略的感受和领悟呢。因此在解决问题的过程中，不仅仅是要使学生认识替换策略的存在，也要让学生充分经历替换的过程，能在解决具体问题中有效合理地运用替换方法解决问题。

如何进行替换是本节课的重点和难点，教学中，我顺应学生思维，最初是根据1只大船9只小船能坐的人数比42人少了10人，使学生直觉的认识到大船太少，要增加大船，减少小船；而后，经历这样几次调整后，学生开始关注到少了的人数与大船小船能坐的人数差之间存在着一定的关系，但，这时，我并不要求每个学生都能理解。因为这一步的理解是最难的，对一大部分学生来说，还需要直观形象的支撑，才能帮助理解。我在这个环节，把重点定位在感受替换的策略，开阔学生的思路，通过“你还有不同的想法吗”的问题，促使学生寻找不同的解题策略。在运用画图的策略解决问题的过程中，借助直观图画与数学思考相结合，帮助学生很好地理解了替换的依据，从而真正把握替换的方法，使学生在经历对比之后能自主选择和运用较为简单、直接的方法解决实际问题。

（四）要引导学生关注问题特点，能根据问题呈现的特点选取合适的解题策略。

解决问题的策略很多，光我们教材从四年级开始编排进去的，学生耳熟能详的，就有列表、画图的策略、倒推、替换的策略等等，再加上学生在平时数学学习中提炼的举例的策略、假设验证的策略等等。这些策略，有些是侧重于解决问题的方式的，有些是侧重于解决问题的思维方法的；而且，不同的策略，有其适合使用的不同问题。因此，我认为引导学生关注问题特点，帮助学生能根据问题呈现的特点选取合适的解题策略也是有必要的。同时，要沟通各种策略，让学生感受到解决问题的策略是多样的，灵活的，不是贴标签、套公式的，解决问题需要灵活运用各种策略。教学中，我提出“回顾一下，刚才这个问题有什么特点，我们是怎样来解决这个问题的呢”，引导学生既感受到用替换的策略可以解决什么样的问题，又让学生感受到解决同一个问题有不同的策略，

总之，数学的学习，对学生来说，能使其终身受用的，绝不仅仅是知识，数学思想方法获得是更重要的。我想这也许是解决问题的策略的教学目的所在吧。

小学六年级数学总复习的公式与概念
第一部分：　概念

1、加法交换律：两数相加交换加数的位置，和不变。

2、加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，再同第三个数相加，和不变。

3、乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积不变。

4、乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，再和第三个数相乘，它们的积不变。

5、乘法分配律：两个数的和同一个数相乘，可以把两个加数分别同这个数相乘，再把两个积相加，结果不变。如：（2+4）×5＝2×5+4×5

6、除法的性质：在除法里，被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商不变。 O除以任何不是O的数都得O。

简便乘法：被乘数、乘数末尾有O的乘法，可以先把O前面的相乘，零不参加运算，有几个零都落下，添在积的末尾。

7、么叫等式？等号左边的数值与等号右边的数值相等的式子叫做等式。

等式的基本性质：等式两边同时乘以（或除以）一个相同的数，等式仍然成立。

8、什么叫方程式？答：含有未知数的等式叫方程式。

9、 什么叫一元一次方程式？答：含有一个未知数，并且未知数的次 数是一次的等式叫做一元一次方程式。

学会一元一次方程式的例法及计算。即例出代有χ的算式并计算。

10、分数：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几分的数,叫做分数。

11、分数的加减法则：同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。异分母的分数相加减，先通分，然后再加减。

12、分数大小的比较：同分母的分数相比较，分子大的大，分子小的小。异分母的分数相比较，先通分然后再比较；若分子相同，分母大的反而小。

13、分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变。

14、分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作为分母。

15、分数除以整数（0除外），等于分数乘以这个整数的倒数。

16、真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。

17、假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫做假分数。假分数大于或等于1。

18、带分数：把假分数写成整数和真分数的形式，叫做带分数。

19、分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或除以同一个数

（0除外），分数的大小不变。

20、一个数除以分数，等于这个数乘以分数的倒数。

21、甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘以乙数的倒数。

分数的加、减法则：同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。异分母的分数相加减，先通分，然后再加减。

分数的乘法则：用分子的积做分子，用分母的积做分母。

22、什么叫比：两个数相除就叫做两个数的比。如：2÷5或3:6或1/3

比的前项和后项同时乘以或除以一个相同的数（0除外），比值不变。

23、什么叫比例：表示两个比相等的式子叫做比例。如3:6＝9:18

24、比例的基本性质：在比例里，两外项之积等于两内项之积。

25、解比例：求比例中的未知项，叫做解比例。如3:χ＝9:18

26、正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着化，如果这两种量中相对应的的比值（也就是商k）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系就叫做正比例关系。如：y/x=k( k一定)或kx=y

27、反比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系就叫做反比例关系。 如：x×y = k( k一定)或k / x = y

28、百分数：表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数。百分数也叫做百分率或百分比。

29、把小数化成百分数，只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。其实，把小数化成百分数，只要把这个小数乘以100％就行了。

30、把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。

31、把分数化成百分数，通常先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数），再把小数化成百分数。其实，把分数化成百分数，要先把分数化成小数后，再乘以100％就行了。

32、把百分数化成分数，先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数。

33、要学会把小数化成分数和把分数化成小数的化发。

34、最大公约数：几个数都能被同一个数一次性整除，这个数就叫做这几个数的最大公约数。（或几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。其中最大的一个，叫做最大公约数。）

35、互质数： 公约数只有1的两个数，叫做互质数。

36、最小公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。

37、通分：把异分母分数的分别化成和原来分数相等的同分母的分数，叫做通分。（通分用最小公倍数）

38、约分：把一个分数化成同它相等，但分子、分母都比较小的分数，叫做约分。（约分用最大公约数）

39、最简分数：分子、分母是互质数的分数，叫做最简分数。

40、分数计算到最后，得数必须化成最简分数。

41、个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，即能用2进行

42、约分。个位上是0或者5的数，都能被5整除，即能用5进行约分。在约分时应注意利用。

43、偶数和奇数：能被2整除的数叫做偶数。不能被2整除的数叫做奇数。

44、质数（素数）：一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数（或素数）。

45、合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数。1不是质数，也不是合数。

46、利息＝本金×利率×时间（时间一般以年或月为单位，应与利率的单位相对应）

47、利率：利息与本金的比值叫做利率。一年的利息与本金的比值叫做年利率。一月的利息与本金的比值叫做月利率。

48、自然数：用来表示物体个数的整数，叫做自然数。0也是自然数。

49、循环小数：一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字依次不断的重复出现，这样的小数叫做循环小数。如3. 141414

50、不循环小数：一个小数，从小数部分起，没有一个数字或几个数字依次不断的重复出现，这样的小数叫做不循环小数。如圆周率：3. 141592654

51、无限不循环小数：一个小数，从小数部分起到无限位数，没有一个数字或几个数字依次不断的重复出现，这样的小数叫做无限不循环小数。如3. 141592654……

52、什么叫代数? 代数就是用字母代替数。

53、什么叫代数式?用字母表示的式子叫做代数式。如：3x =ab+c

第二部分：数量关系式

1、单价×数量＝总价 2、单产量×数量＝总产量

3、速度×时间＝路程 4、工效×时间＝工作总量

5、加数+加数＝和 一个加数＝和＋另一个加数

6、被减数－减数＝差 减数＝被减数－差 被减数＝减数＋差

7、因数×因数＝积 一个因数＝积÷另一个因数

8、被除数÷除数＝商 除数＝被除数÷商 被除数＝商×除数

9、有余数的除法： 被除数＝商×除数+余数

10、一个数连续用两个数除，可以先把后两个数相乘，再用它们的积去除这个数，结果不变。例：90÷5÷6＝90÷（5×6）

第三部分：单位间进率

1公里＝1千米 1千米＝1000米

1米＝10分米 1分米＝10厘米 1厘米＝10毫米

1平方米＝100平方分米 1平方分米＝100平方厘米

1平方厘米＝100平方毫米

1立方米＝1000立方分米 1立方分米＝1000立方厘米

1立方厘米＝1000立方毫米

1吨＝1000千克 1千克= 1000克= 1公斤= 1市斤

1公顷＝10000平方米。 1亩＝666.666平方米。

1升＝1立方分米＝1000毫升 1毫升＝1立方厘米

第四部分：几何知识

三角形的面积＝底×高÷2。 公式 S= a×h÷2

正方形的面积＝边长×边长 公式 S= a×a

长方形的面积＝长×宽 公式 S= a×b

平行四边形的面积＝底×高 公式 S= a×h

梯形的面积＝（上底+下底）×高÷2 公式 S=(a+b)h÷2

内角和：三角形的内角和＝180度。

长方体的体积＝长×宽×高 公式：V=abh

长方体（或正方体）的体积＝底面积×高 公式：V=abh

正方体的体积＝棱长×棱长×棱长 公式：V=aaa

圆的周长＝直径×π 公式：L＝πd＝2πr

圆的面积＝半径×半径×π 公式：S＝πr2

圆柱的表（侧）面积：圆柱的表（侧）面积等于底面的周长乘高。公式：S=ch=πdh＝2πrh

圆柱的表面积：圆柱的表面积等于底面的周长乘高再加上两头的圆的面积。 公式：S=ch+2s=ch+2πr2

圆柱的体积：圆柱的体积等于底面积乘高。公式：V=Sh

圆锥的体积＝1/3底面×积高。公式：V=1/3Sh

平行线：同一平面内不相交的两条直线叫做平行线

垂直：两条直线相交成直角，像这样的两条直线，我们就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。