摘 要：向量是近几年来高考中的热点问题，常把它作为一种工具来进行考察。在学生学习和教师的教学过程中，常常要涉及到一个特殊的向量------零向量，但在课本中，对它的说明比较简略。为此，为了帮助学生和教师更好的掌握向量，我认为有必要对教材中的零向量进行研究。

关键字：  零向量  平行  垂直

一．零向量的定义

“长度为0的向量叫做零向量，记为 。”

解读1： ≠ 0

例1. 判断下列命题的真假：

分析：（1）假。 的长度为0，有方向且方向是任意的。而0仅是一个无方向的实数。因实数与向量的乘积为向量，故正确命题为：

（2）假。 ，并非 。

（3）假。数量积是实数0，不是向量 。

解读2：不能与 比大小

例2. 判断命题“若 ，则 ，或 ”的真假。

分析：假。因为实数之间可以比大小，而向量之间不能比大小。

二．零向量的方向

“零向量的方向是任意的。”

“规定零向量与任一向量平行。”

解读1：因为 的方向是任意的，故有 与任一向量平行； 与任一向量共线； 与任一向量垂直。

解读2：平面向量基本定理中的基底 不能为

        若 中任意一个为零向量，它们都共线。

例3. 判断下列命题的真假：

（1）若 ，则 的方向相同或相反；

（2）若 则 。

分析：（1）假。当 中有一个为 时，因为 的方向是任意的，故 的方向不一定相同，也不一定相反。

（2）假。当 时，虽有 ，但由于 的方向是任意的，故 不一定平行。

例4. 与 平行的单位向量的个数为__________。

分析：当 时，有2个。当 时，有无数个，所以正确答案为2个或无数个。

例5．下列命题中，正确的是（）

A．                B。

C．                 D。

分析：选C。向量不能比较大小，而且向量不可能和数量相等。零向量可以和零向量平行。

“向量 与非零向量 共线的充要条件是有且只有一个实数 ，使得 ”

解读3：这里的向量 之所以是非零向量 是因为，当向量 为零向量时， 的值不唯一。如：

三． 与 有关的运算

封闭折线的向量和为 ，如

四．注意正确使用运算律

例6. 判断下列命题的真假：

（1）

（2）

分析：（1）假

或 或

也可以这样理解，如图， 在 上的投影相等时，有 ，但 不一定相等。

（2）假

因为 为实数

所以 与 共线

同理， 与 共线

因为 与 不一定共线

所以 与 不一定相等

即 不一定为

注：实数中的运算律在向量中不一定成立。

参考文献

[1]范成如《零向量》

[2]数学（高一（下）），人民教育出版社